La Naturaleza del Número

Jean Piaget, psicólogo dedicado a la observación e investigación sobre cómo se generan los aprendizajes, estableció una

distinción fundamental entre tres tipos de conocimiento según su fuente de origen y forma de e structuración, estos son: conocimiento físico, conocimiento lógico-matemático y conocimiento social (convencional), a partir de los cuales, el ser humano va construyendo su realidad y logra aprender la diversidad de conocimientos que se le enseñan, especialmente en la educación formal. A continuación se analizarán estos conocimientos, los cuales son fundamentales en la enseñanza de las matemáticas.

  1. El Conocimiento lógico – matemático, el conocimiento físico y social
    El conocimiento físico es el conocimiento sobre los objetos y la realidad externa, el que se va adquiriendo mediante la estimulación que ejerce la comunicación con otros, sobre todo el conocimiento social, heredado del entorno cercano (padres, amigos, compañeros, etc.), acerca del comportamiento y la relación que se debe mantener en tales o cuales lugares, y a su vez, con la variedad de objetos que se pueden observar y manipular. El color o el peso de una fruta constituyen ejemplos de propiedades físicas que están en los objetos, en la realidad externa, y pue den conocerse por observación. El conocimiento, de que si suelto una moneda en el aire ésta caerá, es también un ejemplo de conocimiento físico, que se da en un contexto social, mediante la interrelación con otros.
    En cambio, cuando se nos presentan dos frutas: una manzana y una naranja, y nos damos cuenta de que son diferentes, esta diferenciación que establecemos, es un ejemplo de conocimiento lógico-matemático. Las frutas son elementos totalmente observables, pero la diferencia entre ellas no lo es, puesto que “ La diferencia es la relación creada mentalmente por el sujeto” , que pone en relación los dos objetos. La diferencia no está en ninguna de las dos frutas, y si una persona no pone en relación los objetos, para ella no habrá diferencia.
    Tan correcto, es decir: que una naranja y una manzana son parecidas, como que son diferentes, porque la relación que el sujeto establece entre los objetos depende de él mismo. Desde un punto de vista las dos frutas son diferentes, y desde otra perspectiva son parecidas, por ejemplo, si el sujeto quiere comerse las dos frutas se dará cuenta que ambas son igualmente comestibles, en cambio, si su preocupación es el sabor o la textura, dirá que son diferentes.
    Para reconocer que un auto es rojo, por ejemplo, el niño necesita de un esquema de clasificación, que le permita distinguir “rojo” de todos los demás colores, al igual que para distinguir “auto” de todos los demás tipos de transportes y objetos que ya conoce. Así es necesario que el niño desarrolle un marco lógico-matemático, construido mediante abstracciones reflexivas, que son construcciones y transformaciones mentales (proceso interno) en que se relacionan una serie de acciones sobre los objetos que conoce, sin que sea necesario realizar todos los pasos concretos para llegar a dicha conclusión. Es la abstracción empírica , es decir, la habilidad de leer y transformar los hechos de la realidad externa (proceso concreto-físico) y construir su propio conocimiento sobre éstos, lo que sustenta la posibilidad de realizar reflexiones abstractas.
    La abstracción reflexiva no se produce aislada de la abstracción empírica, al menos durante el período sensorio motor y preoperatorio (recién vistos), trabajando desde este período en adelante de manera independiente. Por ejemplo, una vez que el niño ha “Construido el Número” (por medio de la abstracción reflexiva), éste será capaz de operar con números, realizar abstracciones reflexivas, po r ejemplo 5 + 5 y 5 x 2. El hecho de que la abstracción reflexiva no pueda producirse en forma independiente antes que el niño construya otras relaciones tiene importantes implicaciones para la enseñanza del número. Implica que el niño debe establecer con toda clase de materiales (objetos, acontecimientos y acciones) todo tipo de relaciones antes de construir el número.
    La distinción entre los dos tipos de abstracción empírica( y reflexiva), puede parecer poco importante cuando el niño está aprendiendo núm eros pequeños, digamos hasta el 10. Cuando sigue con números mayores como el 999 y el 1000, se ve claramente que le es imposible aprender los números por abstracción empírica (será imposible que tenga 1000 muñecas o bolitas y establezca relación a partir de ellos). Los números no se aprenden por abstracción empírica de conjuntos, sino por abstracción reflexiva al construir el niño las relaciones. Porque estas relaciones están creadas por la mente, es por lo que es posible comprender números tales como 1.000.002 incluso si no hemos visto ni contado nunca 1.000.002 objetos en un conjunto.
    Para los niños que han construido la estructura lógico-matemática del número el contar resulta superfluo, sin grandes complicaciones, mientras que para aquellos que no desarrollaron la lógica el “contar es una tarea trabajosa y difícil de realizar”.
    El niño llega a ser capaz de deducir la necesidad lógica de pasar por “el mismo número” en la tarea anterior, cuando ha construido la estructura lógico-matemática de número que le capacita para realizar ésta deducción. Si construye la estructura lógico-matemática de manera sólida, llegará a ser capaz derazonar lógicamente en una gran variedad de tareas que son más difíciles que al tarea de conservación. En cambio, si simplemente se le enseña a dar respuestas correctas en las tareas de conservación, no podemos esperar que llegue a un nivel superior de razonamiento matemático.
    El ser capaz de conservar 8 objetos, no significa que el niño pueda conservar necesariamente cuando utiliza 30 objetos. El principio de enseñanza que podemos concluir en base a esta estructuración progresiva es que, en el caso de la construcción de números grandes, es importante favorecer el desarro llo de los mismos procesos cognitivos que produjeron la construcción de los números pequeños. Si los niños construyen los números pequeños, elementales, estableciendo todo tipo de relaciones entre toda clase de objetos, deben implicarse activamente en el mismo tipo de pensamiento para completar la estructuración del resto de la serie.

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