La Construcción del Número

La Síntesis de Orden y la Inclusión Jerárquica:
Según Piaget, el número es una síntesis de dos tipos de relaciones que el niño establece entre los objetos (por abstracción reflexiva).

Una es el Orden y la otra es la Inclusión Jerárquica.
Comenzaremos presentando lo que para Piaget significaba orden. Todos los maestros de niños pequeños han podido observar la tendencia que manifiestan éstos al contar los objetos, saltándose uno y contando más de uno a la vez. Por ejemplo, si le damos ocho objetos a un niño, este puede recitar “uno, dos, tres, cuatro…” correctamente hasta diez cosas al “contar”.
Esta tendencia pone de manifiesto, que el niño no siente la necesidad lógica de colocar los objetos en un orden para asegurarse que no se salta ninguno o que no cuenta más de uno a la vez. La única manera que tenemos de estar seguros que no nos pasamos por alto o contamos más de una vez un objeto es ponerlo en orden. El niño, sin embargo, no necesita poner los objetos literalmente en un orden espacial para establecer entre ellos una relación de orden. Lo importante es que los ordene mentalmente.
Si la ordenación fuera la única acción que se realizara con los objetos, los objetos no podrían cuantificarse, ya que el niño podría considerar uno cada vez, de un grupo de varios al mismo tiempo. Por ejemplo, después de contar ocho, colocamos en una relación de orden como se muestra en la primera figura, el niño afirma normalmente que hay ocho. Si le pedimos entonces que nos enseñe los ocho señala algunas veces el último objeto (el objeto octavo). Esta conducta indica que, para este niño, las palabras uno, dos, tres, etc., son nombres de elementos individuales en la serie, como Carolina, Marcela, Eduardo…Juan. Por lo tanto, cuando le preguntamos cuántos hay, el niño dice la cantidad hasta Juan, el nombre de Juan representa al último individuo en la serie y no al grupo entero. Para cuantificar los objetos como un grupo, el niño tiene que establecer entre ellos una relación de inclusión jerárquica. Esta relación significa que el niño incluye mentalmente uno, en dos, dos en tres, tres en cuatro, etc., cuando se le presentan ocho objetos, sólo puede cuantificar el conjunto numéricamente si puede establecer entre los objetos una única relación sintetizando el orden y la inclusión jerárquica.
La reacción de los niños pequeños ante la tarea de inclusión de clases, nos ayuda a entender lo difícil que resulta construir la estructura jerárquica.
Es importante mencionar que, cuando nos referimos a objetos estamos hablando de Inclusión de Clases y cuando aludimos a números de Inclusión Jerárquica.
Ahora, analicemos un ejemplo práctico:
Se le entregan al niño seis perros en miniatura y dos gatos del mismo tamaño, por ejemplo, y se le pregunta ¿Qué ves?, de modo que el experimentador pueda proceder después a partir de cualquier palabra utilizada por el niño. Se le pide entonces al niño que muestre “todos los animales”, “todos los perros” y “todos los gatos”, con las palabras que el niño emplea (por ejemplo perrito). Sólo después de asegurarse de que el niño comprende esas palabras, el profesor plantea la siguiente pregunta de inclusión de clases: “¿Hay más perros o más animales?”.
Un niño de cuatro años contesta normalmente: “Más perros”, después de lo cuál el adulto pregunta “¿Que qué?” la respuesta de los niños de cuatro años es “Que gatos”. En otras palabras, la pregunta que el examinador plantea es “¿Hay más perros o más gatos?”. Los niños pequeños oyen una pregunta que es diferente de la que ha planteado el adulto, porque una vez que han dividido el todo (animales) en dos partes (perros y gatos), lo único sobre lo que pueden pensar es en las dos partes. Para ellos el todo ya no existe en ese momento. Para comparar el todo con una parte, el niño tiene que realizar dos acciones mentales opuestas y al mismo tiempo dividir el todo en dos partes juntando nuevamente las partes en un todo. Esto es lo que precisamente, según Piaget, un niño de cuatro años no puede hacer.
Hacia los 7 – 8 años el pensamiento de la mayoría de los niños se hace lo suficientemente móvil como para ser reversible. La reversibilidad se refiere a la capacidad de oponer dos acciones mentalmente de forma simultánea, en este caso, dividir el todo en dos partes y reunir las partes en un todo. En las acciones físicas o materiales, no es posible hacer dos cosas opuestas simultáneamente. S in embargo, esto es posible en nuestras mentes cuando el pensamiento se ha hecho lo bastante móvil como para ser reversible. Sólo cuando las partes pueden “reunirse en la mente”, es cuando el niño puede “ver” que hay más animales que perros.
Piaget explica pues, el logro de la estructura jerárquica de la inclusión de clases por el aumento de la movilidad del pensamiento de los niños. De ahí que sea tan importante que los niños sitúen toda clase de contenidos (objetos, acontecimientos, acciones) en todo tipo de relaciones. Cuando los niños establecen relaciones entre otro tipo de contenidos, su pensamiento se hace más móvil y uno de los resultados de esa movilidad es la estructura lógico-matemática del número.

Consideraciones Generales:
· El primer estadio es netamente de dominio perceptivo; en el segundo predomina la coordinación lógica no reversible y finalmente en el tercero la etapa reversible.

· Los números no aparecen entre sí como independientes, sino que provienen de una sucesión ordenada de elementos en relación con una reversibilidad precisa, que señala el acceso a la Noción Numérica.

· La coordinación entre los procesos ordinales y cardinales, que es lo propio del número, se irá realizando paulatinamente hasta llegar en el último estadio (operaciones formales) a una coordinación perfecta.

· Durante la primera infancia, sólo los primeros números son accesibles al niño ya que son números intuitivos que corresponden a figuras perceptibles. La serie indefinida de los números y de las operaciones de adición (y su inversa), la multiplicación (y su inversa) no son accesibles hasta después de los siete años. Porque el niño debe poseer el concepto de número para poder operar.

· La construcción del concepto de número es correlativo con el desarrollo de la lógica y hemos visto como en el nivel pre-lógico, el niño no posee aún el concepto de número, luego es también un nivel pre-numérico.

· El número se va organizando etapa tras etapa, en estrecha solidaridad con la elaboración gradual de los sistemas de inclusión (jerarquía de clases lógicas) y de relaciones asimétricas (seriación cualitativa), de este modo, el número es la síntesis de la clasificación y seriación. Esta síntesis no se generaliza enseguida a todos los números, sino que actúa progresivamente, se trata pues, de un proceso sintético y constructivo.

· El número se construye en la medida en que los elementos se conciben como equivalentes (clase) y no equivalentes (serie) al mismo tiempo, puesto que las unidades que lo componen se adicionan en tanto son distintas unas de otras.

· El número se construye alrededor de los siete años, en el momento en que el razonamiento del niño empieza a superar el nivel pre-lógico.

Dentro de todo este proceso hay dos nociones que juegan un rol fundamental y que explicaremos a modo de síntesis, la noción de espacio y tiempo.

a) Noción de Espacio
La estructuración espacial, se inicia por la constitución de las coordenadas dadas por la estructuración del cuerpo (delante-atrás, derecha-izquierda) y con la dirección de la gravedad (arriba-abajo). Con este sistema de coordenadas aparecen las primeras relaciones entre los objetos, desembocando y desarrollando la noción de reversibilidad de las operaciones. El lenguaje es fundamental en el acceso a estas operaciones.

b) Noción de Tiempo
La noción de tiempo, es necesaria y es condición para adquirir el concepto de número. En efecto, toda transformación supone el conocimiento preciso del estado anterior a la modificación y del resultado de la misma (antes-después).

Existe un paralelismo e interdependencia en el desarrollo de la estructuración espacio-temporal en el niño. Estas estructuras no se dan en forma innata, sino que se desarrollan a través de las experiencias prácticas del niño.
Todas las actividades que involucran movimientos, conllevan un factor temporal además de espacial. El tiempo puede ser pensado con dirección, ya sea hacia el pasado o hacia el futuro. Ejemplo: si el alumno pretende ir al fondo de la sala, no sólo debe tener conciencia de un punto de partida en el “aquí” sino también en el “ahora”.
El psicólogo suizo J. Piaget logró distinguir dos formas de tiempo en los niños. Uno el llamado “Tiempo Intuitivo”, forma genéticamente primaria, caracterizada por una comprensión inadecuada de las relaciones temporales debido a que no distinguen de las otras relaciones más simples. El otro tiempo es el llamado “Tiempo Operatorio”, constituye la comprensión de las relaciones temporales, basada no en una apreciación de datos aislados, sino en la coordinación de la fase inicial de un proceso con su fase final.
Para finalizar, en la estructuración temporal además, se distinguen tres aspectos: sincronía, ritmo y secuencia, íntimamente ligados entre sí y en relación al movimiento dirigido hacia una finalidad.

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